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稀疏矩阵

Scipy 提供了稀疏矩阵的支持（scipy.sparse）。

稀疏矩阵主要使用位置 + 值的方法来存储矩阵的非零元素，根据存储和使用方式的不同，有如下几种类型的稀疏矩阵：

类型	描述
`bsr_matrix(arg1[, shape, dtype, copy, blocksize])`	Block Sparse Row matrix
`coo_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	A sparse matrix in COOrdinate format.
`csc_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	Compressed Sparse Column matrix
`csr_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	Compressed Sparse Row matrix
`dia_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	Sparse matrix with DIAgonal storage
`dok_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	Dictionary Of Keys based sparse matrix.
`lil_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])`	Row-based linked list sparse matrix

在这些存储格式中：

构建稀疏矩阵

from scipy.sparse import *
import numpy as np

创建一个空的稀疏矩阵：

coo_matrix((2,3))

<2x3 sparse matrix of type ''
    with 0 stored elements in COOrdinate format>

也可以使用一个已有的矩阵或数组或列表中创建新矩阵：

A = coo_matrix([[1,2,0],[0,0,3],[4,0,5]])
print A

  (0, 0)    1
  (0, 1)    2
  (1, 2)    3
  (2, 0)    4
  (2, 2)    5

不同格式的稀疏矩阵可以相互转化：

type(A)

scipy.sparse.coo.coo_matrix

B = A.tocsr()
type(B)

scipy.sparse.csr.csr_matrix

可以转化为普通矩阵：

C = A.todense()
C

matrix([[1, 2, 0],
        [0, 0, 3],
        [4, 0, 5]])

与向量的乘法：

v = np.array([1,0,-1])
A.dot(v)

array([ 1, -3, -1])

还可以传入一个 (data, (row, col)) 的元组来构建稀疏矩阵：

I = np.array([0,3,1,0])
J = np.array([0,3,1,2])
V = np.array([4,5,7,9])
A = coo_matrix((V,(I,J)),shape=(4,4))

print A

  (0, 0)    4
  (3, 3)    5
  (1, 1)    7
  (0, 2)    9

COO 格式的稀疏矩阵在构建的时候只是简单的将坐标和值加到后面，对于重复的坐标不进行处理：

I = np.array([0,0,1,3,1,0,0])
J = np.array([0,2,1,3,1,0,0])
V = np.array([1,1,1,1,1,1,1])
B = coo_matrix((V,(I,J)),shape=(4,4))
print B

  (0, 0)    1
  (0, 2)    1
  (1, 1)    1
  (3, 3)    1
  (1, 1)    1
  (0, 0)    1
  (0, 0)    1

转换成 CSR 格式会自动将相同坐标的值合并：

C = B.tocsr()
print C

  (0, 0)    3
  (0, 2)    1
  (1, 1)    2
  (3, 3)    1

from scipy.sparse import lil_matrix
from scipy.sparse.linalg import spsolve
from numpy.linalg import solve, norm
from numpy.random import rand

构建 1000 x 1000 的稀疏矩阵：

A = lil_matrix((1000, 1000))
A[0, :100] = rand(100)
A[1, 100:200] = A[0, :100]
A.setdiag(rand(1000))

转化为 CSR 之后，用 spsolve 求解 $Ax=b$：

A = A.tocsr()
b = rand(1000)
x = spsolve(A, b)

转化成正常数组之后求解：

x_ = solve(A.toarray(), b)

查看误差：

err = norm(x-x_)
err

6.4310987107687431e-13

返回一个三元组，表示稀疏矩阵中非零元素的 (row, col, value)：

from scipy import sparse

row, col, val = sparse.find(C)
print row, col, val

[0 0 1 3] [0 2 1 3] [3 1 2 1]

查看一个对象是否为稀疏矩阵：

sparse.issparse(B)

True

或者

sparse.isspmatrix(B.todense())

False

还可以查询是否为指定格式的稀疏矩阵：

sparse.isspmatrix_coo(B)

True

sparse.isspmatrix_csr(B)

False

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